La lógica matemática es una parte de la lógica y las matemáticas, que consiste en el estudio matemático de la lógica y en la aplicación de este estudio a otras áreas de las matemáticas. La lógica matemática guarda estrechas conexiones con la ciencias de la computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones y computación.
La lógica matemática fue también llamada lógica simbólica. El primer término todavía se utiliza como sinónimo suyo, pero el segundo se refiere ahora a ciertos aspectos de la teoría de la demostración.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente.
TEORÍA DE MODELOS
En matemática, teoría de modelos es el estudio de (clases de) estructuras matemáticas tales como grupos, cuerpos, grafos, o incluso universos de teoría de conjuntos, usando herramientas de la lógica matemática. Una estructura que da sentido a las oraciones de un lenguaje formal se llama modelo para el lenguaje. Si un modelo para un lenguaje satisface además una oración o una teoría (conjunto de oraciones), se llama modelo de una oración o teoría. La teoría de modelos tiene fuertes lazos con el álgebra y el álgebra universal.
Este artículo se enfoca en teoría finitaria de modelos de primer orden de estructuras infinitas. La teoría de modelos finitos, la cual se concentra en estructuras finitas, diverge significativamente del estudio de estructuras infinitas tanto en los problemas estudiados como en las técnicas usadas. La teoría de modelos en lógicas de orden superior o lógicas infinitarias está obstaculizada por el hecho de que la completitud no se cumple para estas lógicas. Sin embargo, un considerable estudio ha sido realizado en esos lenguajes.
La independencia del axioma de elección y de la hipótesis del continuo de otros axiomas de la teoría de conjuntos (probado por Paul Cohen y Kurt Gödel) son los dos resultados más famosos de la teoría de modelos. Se ha probado que tanto el axioma de elección como su negación son consistentes con los axiomas de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos. Y la hipótesis del continuo, es lógicamente independiente, de los axiomas de Zermelo-Fraenkel y el axioma de elección. Estos resultados son ejemplos de aplicaciones de la teoría de modelos a la teoría axiomática de conjuntos.
Un ejemplo de los conceptos de la teoría de modelos es la teoría de los números reales. Comenzamos con un conjunto de individuos, donde cada individuo es un número real y un conjunto de relaciones y/o funciones como { ×, +, −, ., 0, 1 }. Si hacemos una pregunta "∃ y (y × y = 1 + 1)" en este lenguaje, entonces está claro que la sentencia es verdadera para reales, ya que existe tal número real y, a saber la raíz cuadrada de 2. Para los números racionales, sin embargo, la sentencia es falsa. Una proposición similar, "∃ y (y × y = 0 − 1)", es falsa en los reales, pero es verdadera en los números complejos, donde i × i = 0 − 1.
La teoría de modelos se preocupa de lo que se puede probar con sistemas matemáticos dados, y cómo estos sistemas se relacionan entre sí. Se preocupa particularmente de qué sucede cuando tratamos de extender algún sistema agregando nuevos axiomas.
TEORÍA DE LA DEMOSTRACIÓN
La teoría de la demostración o teoría de la prueba es una rama de la lógica matemática que trata a las demostraciones como objetos matemáticos, facilitando su análisis mediante técnicas matemáticas. Las demostraciones suelen presentarse como estructuras de datos inductivamente definidas que se construyen de acuerdo con los axiomas y reglas de inferencia de los sistemas lógicos. En este sentido, la teoría de la demostración se ocupa de la sintaxis, en contraste con la teoría de modelos, que trata con la semántica. Junto con la teoría de modelos, la teoría de conjuntos axiomática y la teoría de la recursión, la teoría de la demostración es uno de los "cuatro pilares" de los fundamentos de las matemáticas.
TEORÍA DE CONJUNTOS
La Teoría de Conjuntos es una división de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor, Gottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una "agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados"; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento…Georg Cantor
TOMADO DE: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_matem%C3%A1tica
